Rechteckplatte mit Flächenlast - Vergleich der Randlagerungsarten

Ausgangsdaten

Um einen Vergleich der Berechnungsmethoden und der Randlagerungsbedingungen vorzunehmen, wurden die Maximalwerte der Verschiebungen und Spannungen einer Rechteckplatte aus Stahl (Elastizitätsmodul E = 210000 MPa; Querkontraktionszahl 0.3) der Seitenlängen a = 2000 mm und b = 1000 mm, der Dicke t = 4 mm mit konstanter Flächenlast p = 0.01 MPa mit den wenigen verfügbaren Berechnungsansätzen der "klassischen" Plattentheorie der biegesteifen Platte1

bzw. mit den Näherungsformeln für die biegeweiche Platte nach Wolmir2

sowie mit der SoftPlate-Methode A für die biegesteife Platte und der SoftPlate-Methode B für die biegeweiche Platte berechnet.

Maximalwerte

Maximalwerte der biegesteifen und biegeweichen Rechteckplatte mit Flächenlast bei verschiedenen Randlagerungsarten

Randlagerung: unverschiebbar, gestützt, nicht drehbar

Table12
Plattentheorie, biegesteif biegeweichMethode AMethode B
Verschiebung w an P2 [mm]-20.6 -7.79 -20.5 -6.83
Verschiebung v an P7 [mm]0.00.00.00.0
Spannung an P2 [MPa]154.5154.166.5
Spannung an P3 [MPa]16803,0029221,00
Spannung an P7 [MPa]-310.9-308.6185.1
Spannung an P8 [MPa]-211.8146.8
Vergleichsspannung [MPa]273.0 (P7)163.4
Schubspannung [MPa]39.639.192

Randlagerung unverschiebbar, gestützt, nicht drehbar

Table1
MethodePlattentheorie, biegesteif biegeweich Methode AMethode B
Verschiebung w an P2 [mm]-20.6 -7.79 -20.5 -6.83
Verschiebung v an P7 [mm]0.0 0.00.00.0
Spannung an P2 [MPa]154.5154.166.5
Spannung an P3 [MPa]16803,0029221,00
Spannung an P7 [MPa]-310.9-308.6185.1
Spannung an P8 [MPa]-211.8146.8
Vergleichsspannung [MPa]273.0 (P7)163.4
Schubspannung [MPa]39.620.04.07

Randlagerung: verschiebbar, gestützt, nicht drehbar

Table3
MethodeVerschiebung w an P2 [mm]Verschiebung v an P7 [mm]Spannung an P2 [MPa]Spannung an P3 [MPa]Spannung an P7 [MPa]Spannung an P8 [MPa]Vergleichsspannung [MPa]Schubspannung [MPa]
Plattentheorie,biegesteif(-20.6 )
biegeweich-9.73
(Es sind keine Werte aus der Biegetheorie der Platten für verschiebbare Ränder verfügbar.)
Methode A(-20.5 )0.0
Methode B-13.8 0.23499.482.6227.0188.5208.243.1

unverschiebbar, gestützt, frei drehbar

Table4
Plattentheorie,biegesteifbiegeweich-82.6 -6.31 0.00.0381.4
Methode A-82.0 0.0380.7-1.34-4.84-8.76330.1172.7
Methode B-7.82 0.067.90.8039.128.859.233.7

unverschiebbar, gestützt, drehbar, Ecken abhebbar

Table5
Plattentheorie,biegesteifbiegeweich(-82.6 )(-6.31 )0.00.0
Methode A-84.0 0.0388.8-11.4-4.84-8.29346.6-26.3
Methode B-7.84 0.067.96.8639.028.859.228.5

verschiebbar, gestützt, frei drehbar

Table6
Plattentheorie,biegesteifbiegeweich(-82.6 )-13.6 0.0(114.5)
Methode A(-82.0 )0.0
Methode B-23.3 0.72599.8388.2-61.7-55.0525.5227.2

verschiebbar, gestützt, drehbar, Ecken abhebbar

Table7
Plattentheorie,biegesteif(Es sind keine Werte aus der Biegetheorie der Platten für verschiebbare Ränder verfügbar.)
Methode A(-84.0 )0.0
Methode B-28.2 -1.047107.615.0-103.6-91.6201.4104.8

unverschiebbar, ungestützt, nicht drehbar

Table8
Plattentheorie,biegesteif(Es sind keine Werte aus der Biegetheorie der Platten für ungestützte Ränder verfügbar.)
Methode A-36.0 0.0156.4-1326.0-291.9-238.91238.8154.3
Methode B-16.8 0.058.51279.0129.0154.81226.2163.8

Verschiebbar, ungestützt, nicht drehbar

Table9
Plattentheorie,biegesteif(Es sind keine Werte aus der Biegetheorie der Platten für ungestützte Ränder verfügbar.)
Methode A(-36.0 )0.0
Methode B-20.7 0.10175.21327.0155.3171.41211.5236.3

unverschiebbar, ungestützt, frei drehbar

Table10
Plattentheorie,biegesteif(Es sind keine Werte aus der Biegetheorie der Platten für ungestützte Ränder verfügbar.)
Methode A-1003.7 (P7)0.0289.9-17640.01224.0494.817705.15162.8
Methode B-25.7 0.076.41888.048.344.91933.3295.2

verschiebbar, ungestützt, frei drehbar

Table11
Methode AMethode B
Verschiebung w an P2 [mm](-1003.7)(P7)-29.6
Verschiebung v an P7 [mm]0.00.0657
Spannung an P2 [MPa]73.5
Spannung an P3 [MPa]1884.0
Vergleichsspannung [MPa]1877.0
Schubspannung [MPa]433.0

Verschiebung w an P2 : Größte Durchbiegung in Plattenmitte
Verschiebung v an P7 : Größte Verschiebung des Randes in der Mitte der langen Seite a
Spannung Grafik1an P2 : Größte Normalspannung in Plattenmitte
Spannung Grafik2 an P3 : Größte Normalspannung an einer Plattenecke
Spannung Grafik3 an P7 : Größte Normalspannung in der Mitte der langen Seite a
Spannung Grafik4 an P8 : Größte Normalspannung in der Mitte der kurzen Seite b
Vergleichsspannung Grafik5: Größte auftretende Vergleichsspannung
Schubspannung Grafik6: Größte auftretende Schubspannung

Ergebnisse und Bewertung:

  1. Die Theorie der biegesteifen Platte liefert nur Lösungen für die Randlagerungsfälle R1 und R3 (unverschiebbare und gestützte, nicht oder frei drehbare Ränder).
    Die eingespannte Platte (Fall R1 mit nicht drehbarem Rand) hat die kleinste Durchbiegung und - in der Mitte des langen Randes a - die kleinere Maximalspannung, erfordert aber beträchtlichen konstruktiven Aufwand für die Randverstärkung, um die Drehbarkeit und Verschiebbarkeit der Randpunkte voraussetzungsgemäß stark genug einzuschränken, d.h. nahe Null zu bringen.
    Die gestützte Platte (Fall R3 mit frei drehbarem Rand) hat eine viermal größere Durchbiegung und - hier in Plattenmitte - eine um gut 20 % größere maximale Normal- und Vergleichsspannung. Unter den Voraussetzungen der Theorie, - die Randverschiebung wird als so klein angenommen, dass sie vernachlässigt werden kann, es treten nur Biegemomente, keine Querkräfte auf -, wird die Platte als auf hinreichender Stützung frei aufliegend betrachtet, so dass kein Aufwand für eine Einspannung erforderlich scheint. Praktisch lässt sich aber die tatsächliche Unverschiebbarkeit der Ränder nur durch eine Halterung von sehr geringer Nachgiebigkeit, also doch mit erheblichem Aufwand erreichen.
    Die Voraussetzungen der Theorie werden nur dann hinreichend erfüllt, wenn die Verzerrungen klein genug bleiben, also wenn das Verhältnis von maximaler Durchbiegung zu Plattendicke nicht größer als etwa 0.5 wird. Dies ist im vorliegenden Fall nicht gegeben, das auftretende Verhältnis ist um das zehn- bis vierzigfache größer als das für die Berechnung als biegesteife Platte zulässige Verhältnis.
    Die Berechnung als biegesteife Platte führt zu unzutreffenden, viel zu hohen Werten der Durchbiegung und Spannung.

  2. Bei den nach den SoftPlate-Funktionen der Methode B berechneten biegeweichen Platten unterscheiden sich eingespannte und gestützte Platte bei der Durchbiegung in Plattenmitte um rund 15 %, bei der Spannung in Plattenmitte nur um 2 %. Umgekehrt zur biegesteifen Platte ist die maximale Normalspannung der gestützten biegeweichen Platte um fast 80 % und die maximale Vergleichsspannung um mehr als 60 % geringer als bei der eingespannten Platte.
    Die Abhebbarkeit der Ecken (Fall R3 e) hat bei unverschiebbarem Rand nur geringen Einfluss auf die Maximalwerte.
    Die nach Wolmir berechneten Durchbiegungen in Plattenmitte stimmen trotz etwas anderer Annahmen mit den Werten der SoftPlate Methode B in der Größenordnung überein; vergleichbare Spannungen sind damit nicht berechenbar, weil kein vergleichbarer Ansatz bei der Randlagerung vorliegt.
    Die Unterschiede zu den Werten der biegesteifen Platte sind, besonders bei der maximalen Durchbiegung, ganz erheblich und zeigen deutlich den Fehler, der auftritt, wenn von den eng gefassten Voraussetzungen der Plattentheorie abgewichen wird.
    Die gestützte biegeweiche Platte erfordert theoretisch weniger Aufwand für die Randlagerung als die eingespannte, doch praktisch lässt sich das schwer nutzen. Denn die Unverschiebbarkeit der Ränder muss in beiden Fällen durch sehr hohe Steifigkeit der Randverstärkung gewährleistet sein, weil bei der Berechnung als biegeweiche Platte schon eine kleine Randnachgiebigkeit bedeutende Abweichungen in Richtung zum Fall R4 (verschiebbarer Rand) verursacht, anders als für Stützung und Drehbarkeit, wo eine Teilnachgiebigkeit weit geringere Auswirkung hat.

  3. Die frei aufliegende biegeweiche Platte (Fall R4 mit verschiebbaren, gestützten und frei drehbaren Rändern) erfordert außer einer Stützung, die bedingt nachgiebig sein kann, den geringsten Aufwand für die Randlagerung, hat aber größere Durchbiegung und an den - gemäß dem theoretischen Ansatz - nicht abhebbaren Ecken erheblich größere Normal-, Vergleichs- und Schubspannungen, die im vorliegenden Fall die zulässige Spannung von Stahl mit angenommen 240 MPa überschreiten würden.
    In der Praxis können die Ecken frei aufliegender Platten abheben, so dass der Fall R4 e zutrifft. Die maximale Durchbiegung erhöht sich mit 28 mm vom sechsfachen auf das siebenfache der Dicke, ein für eine biegeweiche Platte von 2 x 1 m meist gut akzeptabler Wert; die Normalspannung in den Ecken wird klein, maximale Vergleichsspannung und Schubspannung bleiben unter den zulässigen Spannungen.
    Das System Biegeweiche Platte + Randlagerungsfall R4 e ist für viele praktische Anwendungsfälle die wirtschaftlichste Lösung.

  4. Biegeweiche Platten mit ungestützten Rändern (Fälle R5 bis R8), aber mit gestützten, nicht abhebbaren Ecken ergeben zwar akzeptable maximale Durchbiegungen in der Größenordnung der Platten mit gestützten verschiebbaren Rändern, führen aber wegen der Lastkonzentration auf nur 4 Eckpunkte zu unakzeptabel hohen Spannungen.
    Ränder auf elastischer Bettung, also mit eingeschränkt nachgiebiger Stützung, sind eine technisch und wirtschaftlich interessante Alternative, wenn die Verformung und Verdrehung der Randlagerung akzeptabel ist. Der Verformungs- und Spannungszustand der Platte nähert sich schon ab mittlerer Randsteifigkeit relativ rasch dem Zustand der gestützten Platten der Randlagerungsfälle R1 bis R4 größenordnungsmäßig an.



siehe z.B. Timoshenko und Woinowsky-Krieger: Theory of Plates and Shells; Roark's Formulas for Stress and Strain; Dubbels Taschenbuch für den Maschinenbau; Netz: Formeln der Technik; Hütte: Des Ingenieurs Taschenbuch

Wolmir, A.S.: Biegsame Platten und Schalen. Berlin: VEB Verlag für Bauwesen, 1962